Sí f es continua y no negativa en un intervalo cerrado [a,b ], el área de la región limitada por la gráfica de f, el eje x y las rectas verticales x=a y x=b viene dada por:
Observemos la siguiente fig 1
En ella se ve que f es una función continua, positiva (por encima del eje x), y la región R está limitada (acotada) por las rectas verticales x=a y x=b. Podemos hallar el área de la región R por medio de una integral definida aplicando la definición anterior.
Como lo hemos planeado, daremos algunos ejemplos para ver como se puede aplicar la definición.
EJEMPLO 1: Hallar el área de la región acotada por la curva y las rectas f(x)=4 y x=−3 y x=2.
SOLUCIÓN:
1. TRAZO DE LA REGIÓN: En primera medida, se debe trazar la región que se pide. Aquí f es positiva y continua. Abajo se muestra la región establecida.
FIG 2
2. PLANTEAMIENTO DE LA INTEGRAL: Aplicando la definición anterior, el área de la región R viene dado por:
3. EVALUACIÓN DE LA INTEGRAL: Ahora procedemos a evaluar la integral.
Luego el área de la región es 20 u2.
Obsérvese que esta región es rectangular, luego se puede encontrar su área usando los métodos de la geometría. Desde este punto de vista se puede hacer lo siguiente:
No es sorprendente que se hayan obtenido resultados equivalentes.
EJEMPLO 2: Hallemos el área de la región acotada por la curva
acotada por [−5,5]
2. PLANTEAMIENTO DE LA INTEGRAL: Si se observa la fig 3, las rectas x= −5 y x = 5 dividen la región en dos partes; A1y A2 respectivamente. También se puede ver que el intervalo se puede dividir en dos, así:[−5,5] , [−5,0] y [−0,5]. Luego el área de la región (coloreada de verde) viene dada por:
A = A1 + A2
3. EVALUCION DE LA INTEGRAL: Ahora procedemos a evaluar la integral de la siguiente forma:
Luego el área de la región sombreada es de
u2.SOLUCIÓN:
1. TRAZO DE LA REGIÓN: Presentamos el trazo de la curva junto con el intervalo de acotación sobre el eje x, por su puesto.
FIG 3.
